Distancia de Mahalanobis

La distancia de Mahalanobis es una medida de distancia, no un algoritmo. Propuesta por el estadístico indio Prasanta Chandra Mahalanobis en 1936, en su trabajo «On the Generalised Distance in Statistics», cuantifica cuán lejos se encuentra un punto de una distribución de datos —o dos puntos entre sí respecto a esa distribución— teniendo en cuenta la covarianza entre las variables. A diferencia de la distancia euclídea, que trata todas las direcciones por igual, la de Mahalanobis pondera cada dirección según la dispersión y la correlación de los datos.

Esa ponderación la hace invariante a la escala y a la correlación entre variables: dos magnitudes medidas en unidades muy distintas, o fuertemente correlacionadas, dejan de distorsionar el cálculo. Es, por tanto, una herramienta estadística que otros métodos emplean, no un procedimiento que agrupe o clasifique por sí mismo.

Qué mide y cuál es su fórmula

Para un punto x, una media μ y una matriz de covarianza Σ, la distancia se escribe en texto plano como: d(x) = raíz cuadrada de (x − μ)ᵀ Σ⁻¹ (x − μ). El término Σ⁻¹, la inversa de la matriz de covarianza, es la clave: reescala y «endereza» el espacio para neutralizar las correlaciones. Cuando las variables están incorreladas y normalizadas —es decir, cuando Σ es la matriz identidad—, la fórmula se reduce exactamente a la distancia euclídea. La euclídea es, así, un caso particular de la de Mahalanobis.

Por qué importa la covarianza

Ignorar la covarianza conduce a errores de juicio. Un punto puede parecer cercano al centro de una nube de datos midiendo en línea recta y, sin embargo, ser un valor atípico si esa nube se extiende en una dirección concreta. La de Mahalanobis captura esa geometría: mide la distancia en «desviaciones estándar» a lo largo de los ejes reales de variación. Geométricamente equivale a aplicar un blanqueo (whitening) —una transformación mediante Σ⁻¹/² que descorrelaciona y normaliza los datos— y calcular después una distancia euclídea sobre el espacio transformado.

Para qué se usa y su relación con el PCA

Sus aplicaciones son numerosas: la detección de valores atípicos y anomalías, el análisis discriminante cuadrático (QDA) y su empleo como métrica dentro de algoritmos como el de los k vecinos más cercanos (k-NN) o ciertos métodos de agrupamiento (clustering). Conviene subrayar el matiz: la distancia de Mahalanobis puede ser la métrica que un algoritmo de agrupamiento utiliza, pero ella no agrupa nada por sí misma. Y el PCA (Análisis de Componentes Principales) tampoco es un algoritmo de clustering: es una técnica de reducción de dimensionalidad. La relación entre ambos existe, pero es distinta del agrupamiento: el blanqueo que subyace a la de Mahalanobis se apoya en la misma descomposición de la matriz de covarianza sobre la que se construye el PCA, de ahí la expresión «PCA whitening». Reducir dimensiones y medir distancias son tareas complementarias, no la misma cosa.