Distancia de Manhattan

La distancia de Manhattan entre dos puntos es la suma de las diferencias absolutas de sus coordenadas. Para un punto x y un punto y, cada uno con n coordenadas, se calcula como d(x, y) = |x₁ − y₁| + |x₂ − y₂| + … + |xₙ − yₙ|. También se la conoce como distancia L1, «taxicab», rectilínea o «de manzanas» (city block), y mide el trayecto que haría un taxi por una cuadrícula de calles: solo avanza en horizontal y en vertical, nunca corta en diagonal.

El nombre remite a Manhattan y su retícula de avenidas. A diferencia de la distancia en línea recta, aquí no existe el atajo diagonal: para ir de una esquina a la opuesta en una manzana de 6 por 6, la distancia de Manhattan es 12, mientras que la euclídea sería 6√2 ≈ 8,49. Es una métrica barata de calcular y con una interpretación geométrica inmediata, como recogen MathWorld y el diccionario de algoritmos del NIST.

De Manhattan a Minkowski

La distancia euclídea (o L2) mide la separación en línea recta: eleva al cuadrado cada diferencia antes de sumarlas y sacar la raíz. La de Manhattan solo suma valores absolutos. Esa diferencia tiene consecuencias prácticas: al elevar al cuadrado, la métrica euclídea castiga con dureza una diferencia grande en una sola dimensión; la de Manhattan la penaliza de forma más suave y proporcional. Ambas son casos particulares de la distancia de Minkowski, la familia general de orden p: con p = 1 se obtiene la de Manhattan y con p = 2 la euclídea. Ajustar p modula cuánto pesan las diferencias grandes frente a las pequeñas.

Robustez y alta dimensión

Como la norma L1 no eleva las diferencias al cuadrado, es menos sensible a los valores atípicos: un dato disparatado infla la distancia de forma lineal, no cuadrática. Por eso las técnicas basadas en el error absoluto, como la regresión Lasso, se consideran más robustas frente a outliers que las basadas en el error cuadrático. Hay además un efecto menos intuitivo: en espacios de muchas dimensiones, el trabajo de Charu Aggarwal, Alexander Hinneburg y Daniel Keim (2001) mostró que el contraste entre el punto más cercano y el más lejano tiende a desvanecerse, y que las normas de orden bajo conservan ese contraste mejor que las de orden alto. En sus experimentos, la L1 preservaba distancias más significativas que la L2, lo que hace de la de Manhattan una opción a considerar cuando los datos tienen muchas variables.

Dónde se usa

La distancia de Manhattan aparece en algoritmos de vecinos más cercanos (k-NN) y en clustering, donde mide la similitud entre ejemplos. Es habitual también en el diseño de circuitos integrados, donde las pistas discurren solo en horizontal o en vertical, y en problemas de rutas sobre cuadrículas. Elegir entre L1, L2 u otra métrica no es un detalle menor: cambia qué ejemplos se consideran «cercanos» y, con ello, el resultado del modelo. La regla práctica es probar la métrica sobre los datos concretos, no darla por supuesta.