Distancia de Minkowski

La distancia de Minkowski es una métrica general que mide la separación entre dos puntos en un espacio de n dimensiones y que engloba, como casos particulares, varias de las distancias más usadas en aprendizaje automático. Su rasgo distintivo es un parámetro, el orden p, que ajusta la forma de medir. Para dos vectores x = (x1, ..., xn) e y = (y1, ..., yn), se define como la raíz p-ésima de la suma de las diferencias absolutas por coordenada elevadas a p.

En texto plano, la fórmula es: d(x, y) = ( |x1 − y1|^p + |x2 − y2|^p + ... + |xn − yn|^p )^(1/p). Es decir, se toma cada diferencia por coordenada en valor absoluto, se eleva a la potencia p, se suman todos los términos y al resultado se le aplica la raíz p-ésima. La distancia cumple la desigualdad triangular —y es, por tanto, una métrica válida— únicamente cuando p ≥ 1; con valores de p menores que 1 la fórmula deja de ser una métrica.

Casos particulares: p = 1, p = 2 y p → ∞

El valor de p convierte la distancia de Minkowski en métricas conocidas. Con p = 1 se obtiene la distancia de Manhattan (norma L1), la suma de las diferencias absolutas por coordenada; su ficha propia en este glosario la desarrolla en detalle. Con p = 2 se recupera la distancia euclídea (norma L2), la línea recta entre dos puntos que enseña la geometría clásica. Cuando p tiende a infinito, la expresión converge a la distancia de Chebyshev, que es simplemente el máximo de las diferencias absolutas entre coordenadas. Así, una sola fórmula recorre desde la suma total hasta el mayor desnivel individual.

Qué controla el parámetro p

El orden p regula cuánto pesan las diferencias grandes frente a las pequeñas. Cuanto mayor es p, más dominan las dimensiones en las que los dos puntos más difieren: las coordenadas con la mayor separación acaban imponiéndose, hasta el extremo de Chebyshev, donde solo cuenta la máxima. Con un p bajo, en cambio, todas las diferencias contribuyen de forma más equilibrada. Elegir p es, en la práctica, decidir qué geometría se ajusta mejor a los datos.

Usos en inteligencia artificial

El parámetro p cambia qué diferencias pesan más. Como toda distancia sobre características, sólo es útil si las coordenadas comparadas representan diferencias relevantes para el problema.