Procesos de Poisson

Un proceso de Poisson es un modelo probabilístico que cuenta eventos que ocurren a lo largo del tiempo (o del espacio) de forma aleatoria. Es un proceso de conteo con una tasa o intensidad λ, y queda definido por unas hipótesis precisas: los eventos ocurren de forma independiente unos de otros, el número de eventos en intervalos que no se solapan es independiente, y la probabilidad de un evento en un intervalo muy pequeño es proporcional a su duración.

La definición formal

Bajo esas hipótesis, el número de eventos en un intervalo de longitud t sigue una distribución de Poisson de media λt, y los tiempos entre eventos consecutivos siguen una distribución exponencial de media 1/λ. No se admiten dos eventos simultáneos. Se distingue el caso homogéneo, con tasa λ constante, del no homogéneo, en el que la tasa λ(t) varía con el tiempo, útil por ejemplo cuando las llegadas tienen horas punta.

Un modelo con supuestos, no una descripción de la realidad

Conviene tratar las aplicaciones con cuidado, porque sus hipótesis a menudo no se cumplen. En neurociencia, el «tren de impulsos de Poisson» es un modelo idealizado del disparo neuronal, no una descripción literal: las neuronas reales tienen un periodo refractario que impide impulsos inmediatamente consecutivos, algo que el proceso de Poisson no captura. En los mercados financieros, las órdenes tienden a llegar agrupadas, lo que viola la independencia; por eso se recurre a extensiones autoexcitantes como los procesos de Hawkes, en los que un evento eleva la probabilidad de los siguientes. La regla es presentar siempre estos casos como modelos con supuestos explícitos.

Para qué se usan

Los procesos de Poisson son la base para modelar llegadas de eventos y colas —clientes, paquetes de red, peticiones a un servidor—, para simular actividad neuronal en el estudio de redes de impulsos, y como punto de partida analítico sobre el que se construyen modelos más realistas que relajan sus hipótesis.