Teorema de Bayes

El teorema de Bayes es una regla para actualizar lo que creemos a medida que llegan nuevos datos. En la interpretación bayesiana, la probabilidad expresa una creencia revisable: partimos de una estimación inicial sobre una hipótesis y la corregimos cuando observamos evidencia que la respalda o la debilita. Esa idea sostiene la inferencia bayesiana: combinar una probabilidad previa con la verosimilitud de la evidencia para obtener una probabilidad posterior.

El teorema de Bayes relaciona probabilidades condicionales y permite calcular la probabilidad de una hipótesis dada una evidencia a partir de la relación inversa, la probabilidad previa y la probabilidad total de la evidencia. En la interpretación bayesiana, esa regla sirve para actualizar creencias cuando llegan datos.

Su forma es P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B): la probabilidad de la hipótesis A dado que hemos observado la evidencia B es igual a la probabilidad de observar B si A fuera cierta, multiplicada por la probabilidad inicial de A y dividida por la probabilidad total de B. El resultado no es una verdad absoluta, sino una creencia mejor calibrada que la de partida.

Los términos: previa, verosimilitud y posterior

Cada pieza de la fórmula tiene un nombre y un papel. P(A) es la probabilidad a priori o previa: lo que creíamos antes de ver la evidencia. P(B|A) es la verosimilitud: cómo de compatible es la evidencia con la hipótesis. P(A|B) es la probabilidad a posteriori: la creencia revisada una vez incorporado el dato. Y P(B), la evidencia, actúa como normalizador para que el resultado sea una probabilidad válida. La lógica se encadena de forma natural: la posterior de hoy es la previa de mañana, de modo que cada nueva observación afina un poco más la estimación.

Un ejemplo que ilumina: el test médico y la tasa base

Imaginemos una enfermedad que afecta al 1 % de la población y una prueba con un 99 % de sensibilidad —detecta a casi todos los enfermos— pero con un 5 % de falsos positivos. Si el test da positivo, la intuición dice que estar enfermo es casi seguro. Bayes dice otra cosa. De cada 10 000 personas, 100 están enfermas y el test detecta a 99; pero de las 9 900 sanas, un 5 % —495 personas— da positivo por error. Entre los 594 positivos, solo 99 lo están de verdad: la probabilidad real de enfermedad es de apenas un 17 %.

La lección no es que la prueba sea mala, sino que la tasa base —lo rara que es la enfermedad— pesa tanto como el propio resultado. Kahneman y Tversky estudiaron experimentalmente este descuido; Maya Bar-Hillel lo definió en 1980 como «falacia de la tasa base».

Su papel en la IA: inferencia bayesiana y Naive Bayes

En inteligencia artificial, el teorema es el motor de la inferencia bayesiana: el arte de razonar con incertidumbre actualizando probabilidades conforme un sistema observa el mundo. De él nace el clasificador Naive Bayes («ingenuo» porque supone que los atributos son independientes entre sí), sorprendentemente eficaz en tareas como el filtrado de spam o la clasificación de textos. La misma idea sostiene las redes bayesianas, que modelan dependencias entre variables. Formulado por Thomas Bayes y publicado póstumamente en 1763 por Richard Price en las Philosophical Transactions de la Royal Society, y desarrollado de forma independiente por Pierre-Simon Laplace, el teorema sigue siendo, dos siglos y medio después, una de las gramáticas fundamentales del aprendizaje automático. Documentación: síntesis académica del teorema de Bayes; documentación técnica de Naive Bayes.