Varianza

En estadística, la varianza es una medida de dispersión: cuantifica cuánto se alejan los valores de una variable respecto a su media. Formalmente, es el valor esperado del cuadrado de la desviación respecto a la media, que se escribe Var(X) = E[(X − μ)²], donde μ es la media (o esperanza) de la variable. Una varianza pequeña indica que los datos se agrupan cerca de la media; una varianza grande, que están muy repartidos.

Al elevar al cuadrado las desviaciones, la varianza penaliza más los alejamientos grandes y evita que las desviaciones positivas y negativas se cancelen entre sí. Una identidad útil para calcularla es Var(X) = E[X²] − (E[X])². Como consecuencia de ese cuadrado, la varianza se expresa en las unidades de la variable elevadas al cuadrado: si medimos alturas en centímetros, la varianza queda en centímetros cuadrados, lo que dificulta su interpretación directa.

Varianza poblacional y muestral

Conviene distinguir dos versiones. La varianza poblacional, denotada σ², promedia las desviaciones al cuadrado sobre todos los N elementos de la población: se suman los términos (xᵢ − μ)² y se divide entre N. La varianza muestral, denotada s², se usa cuando solo disponemos de una muestra y queremos estimar la varianza de la población. Aquí surge una sutileza: se divide entre n − 1 en lugar de n. Es la llamada corrección de Bessel, en honor al astrónomo Friedrich Bessel. La razón es que, al usar la media de la muestra en lugar de la media real (desconocida), las desviaciones tienden a quedar algo cortas y subestiman la dispersión; dividir entre n − 1 corrige ese sesgo a la baja y hace de s² un estimador insesgado de σ².

Relación con la desviación típica

La varianza está íntimamente ligada a la desviación típica (o desviación estándar), que no es otra cosa que su raíz cuadrada: σ = √(σ²). El paso de una a otra resuelve el problema de las unidades. Mientras la varianza vive en unidades al cuadrado, la desviación típica vuelve a las unidades originales de la variable, por lo que suele preferirse para describir e interpretar la dispersión. Ambas ordenan igual los conjuntos de datos: si una distribución tiene más varianza que otra, también tiene mayor desviación típica.

La varianza en el compromiso sesgo-varianza

En aprendizaje automático, «varianza» adquiere un segundo sentido que no debe confundirse con el estadístico. Aquí designa la sensibilidad de un modelo a los datos concretos con que se entrena: un modelo de alta varianza cambia mucho sus predicciones si se le entrena con muestras distintas, señal de sobreajuste —aprende el ruido, no el patrón—. En regresión con error cuadrático medio, el error esperado puede descomponerse en sesgo al cuadrado, varianza y ruido irreducible; reducir uno puede aumentar el otro, tensión conocida como compromiso sesgo-varianza. Técnicas como la validación cruzada, la regularización o los conjuntos de modelos se usan para gestionar ese compromiso, pero la igualdad no demuestra que una técnica concreta reduzca la varianza en cualquier conjunto de datos.